Question

如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC （端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將三角形AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則 t 的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)與隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，分別求出此兩個(gè)位置的t值即可得到所求的答案

解答：
解：如圖，過(guò)D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中點(diǎn)，
∵長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)，
∴計(jì)算可得：AG=

2

2

，DG=

2

2

，DK=

3

2

，KG=

1

2

，
∴t=AK=

1

2

當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，
可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴

AG

AD

=

DG

DC

=

DA

AC

∴

AG

1

=

PG

2

=

1

5

，可解得AG=

5

5

可得三角形AKG和三角形ABC相似．
∴

AG

AC

=

AK

AB

，
∴

5 5

5

=

t

2

，解得t=

2

5

所以t的取值范圍是（

2

5

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間圖形的想象能力及根據(jù)相關(guān)的定理對(duì)圖形中的位置關(guān)系進(jìn)行精準(zhǔn)判斷的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．