Question

（1）已知a，b∈R，求證：a²+b²≥ab+a+b-1．
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，求證：|1-ab|＞|a-b|．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）欲證明a²+b²≥ab+a+b-1，利用比較法，只須證明�。╝²+b²）-（ab+a+b-1）＞0即可，故先作差后因式分解后與0比較即可；
（2）首先化簡(jiǎn)|1-ab|²-|a-b|²可得，|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）；結(jié)合題意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范圍，進(jìn)而可得|1-ab|²-|a-b|²＞0，由不等式的性質(zhì)，可得答案．

解答： 證明：（1）（a²+b²）-（ab+a+b-1）
=

1

2

（2a²+2b²-2ab-2a-2b+2）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（a²-2a+1）+（b²-2b+1）]
=

1

2

[（a-b）²+（a-1）²+（b-1）²]≥0，
則a²+b²≥ab+a+b-1；
（2）|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
由于|a|＜1，|b|＜1，則a²-1＜0，b²-1＜0．
則|1-ab|²-|a-b|²＞0，
故有|1-ab|＞|a-b|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查比較法的運(yùn)用以及不等式性質(zhì)的基本運(yùn)用，注意結(jié)合題意，進(jìn)行絕對(duì)值的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．