Question

(2006北京，20)在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，n=3，4，5，…，則稱(chēng)為“絕對(duì)差數(shù)列”．

(1)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”(只要求寫(xiě)出前十項(xiàng))；

(2)若“絕對(duì)差數(shù)列”中，，數(shù)列滿(mǎn)足，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

(3)證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)，，，，，，，，，(答案不唯一)． (2)因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中，，，所以自第20項(xiàng)開(kāi)始，該數(shù)列是，，，，，，，，…． 即自第20項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3，所以當(dāng)n→∞時(shí)，的極限不存在． 當(dāng)n≥20時(shí)，．所以． (3)證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)，證明如下： 假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于，所以對(duì)于任意的n，都有，從而 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 即的值要么比至少小1，要么比至少小1． 令 n=1，2，3… 則． 由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)，這與(n=1，2，3，…)矛盾．從而必有零項(xiàng)． 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記，則自第n項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A， 即． 所以絕對(duì)差數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．

提示：

剖析：本題主要考查數(shù)列、極限以及對(duì)新概念的理解能力．