Question

已知B、C是兩個定點(diǎn)，|BC|=6，且△ABC的周長為16．
（1）求三角形頂點(diǎn)A的軌跡S的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)B與BC垂直的直線l交軌跡S于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）取BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，由題意可得AB+AC=10＞BC，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，利用橢圓的定義和簡單性質(zhì)求出a、b 的值，即得頂點(diǎn)A的軌跡方程．
（2）求出D、E的縱坐標(biāo)，即可求線段DE的長度．

解答： 解：（1）取BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，
∵|BC|=6，且△ABC的周長等于16，
∴AB+AC=10＞BC，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，
∴2a=10，c=3，
∴b=4，故頂點(diǎn)A的軌跡方程為

x2

25

+

y2

16

=1（y≠0）．
（2）由題意可知：B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0），則直線l的方程為x=±3，代入點(diǎn)A的軌跡方程，
得y=±

16

5

，∴|DE|=|y_D-y_E|=

32

5

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意軌跡方程中y≠0，這是解題的易錯點(diǎn)．屬于中檔題．