Question

（本小題滿分13分）  

    設(shè)；對(duì)任意實(shí)數(shù)，記

   （1）判斷的奇偶性；

   （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

   （3）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)為非奇非偶函數(shù)，也為非奇非偶函數(shù)

（2）故的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為

（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立。

【解析】解：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052400401014068201/SYS201205240042042656630280_DA.files/image008.png">不關(guān)于原上噗對(duì)稱，

    為非奇非偶函數(shù)，             …………（2分）  

    而的定義域?yàn)镽，且

    也為非奇非偶函數(shù)             …………（4分）

   （2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

    由

    由

    故的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為……（8分）

   （3）解法一：令  ……（10分）

    則

    由時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，，

    上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

    上有唯一極小值，也是它的最小值，而在（0，+∞）上的最小值

    …………（13分）

    解法二：對(duì)任意，令，

    則

    由

    當(dāng)；

    當(dāng)的唯一極小值點(diǎn)，

   

    …………（13分）