Question

如下圖所示，過定點A（m,0）(m＜0＝作一直線l交拋物線C：y²=2px(p＞0)于P、Q兩點，又Q關(guān)于x軸對稱點為Q₁，連結(jié)PQ₁交x軸于B點.

（1）求證：直線PQ₁恒過一定點；

（2）若,求證.

Answer 1

解：（1）設(shè)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，而Q₁與Q關(guān)于x軸對稱，則Q(x₂,-y₂)，

PQ直線方程為y-y₁=k_PQ(x-x₁),其中k_PQ=，

則PQ:y=.同理PQ:y=.

又PQ過點(m,0),則0=于是y₁y_2=-2pm.因此可知PQ₁直線方程可改寫為y=,因此可知PQ直線恒過點(-m,0).

（2）連結(jié)AQ,因為Q與Q₁關(guān)于x軸對稱,A在x軸上,

所以在△APQ₁中,AB平分∠PAQ₁,由角平分線定理可知,而=,

,同向, ∴＞0. ∴于是|PB|=|BQ₁|,而又B,P,Q₁三點共線,同向,＞0.于是.