Question

設(shè)f（x）定義域為D，若滿足：
（1）f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（2）存在[a，b]⊆D，使f（x）在x∈[a，b]時值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的閉函數(shù)．
當(dāng)f（x）=2k+

x+4

時，k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中閉函數(shù)的定義，及函數(shù)f（x）的解析式，我們可得函數(shù)滿足條件（1），即在定義域D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，若滿足條件（2）則f（x）=x在區(qū)間[-4，+∞）上有兩個根，利用換元法，可將條件轉(zhuǎn)化為t²-t-（4+2k）=0有兩個非負(fù)根，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于k的不等式組，進(jìn)而求出k的范圍．

解答： 解：∵f（x）=2k+

x+4

在定義域D=[-4，+∞）上為增函數(shù)，
故滿足條件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域為[a，b]，
則f（x）=2k+

x+4

=x在區(qū)間[-4，+∞）上有兩個根，
令t=

x+4

（t≥0）
則原方程可化為t²-t-（4+2k）=0有兩個非負(fù)根，
即

△=1+4(4+2k)＞0 -(4+2k)≥0

，
解得-

17

8

＜k≤-

1

2

，
故k的范圍是（-

17

8

，-

1

2

]．
故答案為：（-

17

8

，-

1

2

]．

點評：本題考查的知識點是單調(diào)性的性質(zhì)，其中正確理解新定義“閉函數(shù)”中的兩個條件的意義，是解答本題的關(guān)鍵．