Question

（本小題滿分13分）

已知處的切線為

（I）求的值；

（II）若的極值；

（III）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)（，為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值為3.

Answer 1

（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由條件可得，，進(jìn)而可得出（2）根據(jù)題意可確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而求導(dǎo)、列表判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極值；（3）列出函數(shù)的解析式求出導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)分類討論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷是否存在這樣的值..

試題解析：(Ⅰ) 在處的切線為

所以,即

又在處,所以

所以,可得

所以 3分

(Ⅱ) 時(shí),定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606065267784866/SYS201506260607014750284616_DA/SYS201506260607014750284616_DA.019.png">

		極小值

可以看出,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值 8分

(Ⅲ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606065267784866/SYS201506260607014750284616_DA/SYS201506260607014750284616_DA.035.png">,

所以

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值,

9分

①當(dāng)時(shí)，，所以

在上單調(diào)遞減，（舍去） 10分

②當(dāng)時(shí),

(i)當(dāng)時(shí),，在上恒成立

所以在上單調(diào)遞減，（舍去） 11分

(ii)當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí),所以在上遞減

當(dāng)時(shí),在上遞增

所以, 12分

所以滿足條件, 綜上，存在使時(shí)有最小值 13分

考點(diǎn)：函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.