【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若的圖象與直線交于,兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).

【解析】

(1)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù),以及三種情況討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào),進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)單調(diào)性;

(2)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)以及兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性確定滿足條件的不等式,解得m的取值范圍,最后利用零點(diǎn)存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)依題意,,.

①若,則,故上單調(diào)遞減

②若,令,解得.

i)若,則,,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

ii)若,則,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)令,則由題意可知有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根,顯然.

,則.

,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

要滿足已知條件,必有此時(shí)無(wú)解;

,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

要滿足已知條件,必有解得.

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,,故函數(shù)上有一個(gè)零點(diǎn).

易知,且,下證:.

,則,當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,故,即,

,故,

上單調(diào)遞增,故上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

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(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中.

i)求X的分布列:

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