【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若的圖象與直線
交于
,
兩點(diǎn),且
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;(2)
.
【解析】
(1)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù),
以及
三種情況討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào),進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)單調(diào)性;
(2)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)
以及
兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性確定滿足條件的不等式,解得m的取值范圍,最后利用零點(diǎn)存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)依題意,,
.
①若,則
,故
在
上單調(diào)遞減
②若,令
,解得
或
.
(i)若,則
,
,則當(dāng)
時(shí),
,
單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),
,
單調(diào)遞增;
(ii)若,則
,
,則當(dāng)
時(shí),
,
單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),
,
單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
(2)令,則由題意可知
有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根,顯然
.
令,則
.
若,則當(dāng)
時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
要滿足已知條件,必有此時(shí)無(wú)解;
若,則當(dāng)
時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
要滿足已知條件,必有解得
.
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,
,故函數(shù)
在
上有一個(gè)零點(diǎn).
易知,且
,下證:
.
令,則
,當(dāng)
時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,故
,即
,
故,故
,
又在
上單調(diào)遞增,故
在
上有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為
、
,P為該雙曲線上一點(diǎn),滿足
,P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d,且
,則
________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求不等式
的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列與
滿足
,
,
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和(
).
(1)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為
的等比數(shù)列,且數(shù)列
也是等比數(shù)列,求
的值;
(2)設(shè),若
且
對(duì)
恒成立,求
的取值范圍;
(3)設(shè),
,
(
,
),若存在整數(shù)
,
,且
,使得
成立,求
的所有可能值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓
:
的焦距為
,直線
截圓
:
與橢圓
所得的弦長(zhǎng)之比為
,橢圓
與
軸正半軸的交點(diǎn)分別為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)(
且
)為橢圓
上一點(diǎn),點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為
,直線
,
分別交
軸于點(diǎn)
,
.試判斷
是否為定值?若是求出該定值,若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以
的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以
的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中
.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺(jué)得小明同學(xué)能盈利嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,
為兩非零有理數(shù)列(即對(duì)任意的
,
均為有理數(shù)),
為一無(wú)理數(shù)列(即對(duì)任意的
,
為無(wú)理數(shù)).
(1)已知,并且
對(duì)任意的
恒成立,試求
的通項(xiàng)公式.
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對(duì)任意的
,
恒成立的充要條件為
.
(3)已知,
,對(duì)任意的
,
恒成立,試計(jì)算
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《周脾算經(jīng)》有記載:一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每個(gè)節(jié)氣晷(gui)長(zhǎng)損益相同,晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器,晷長(zhǎng)即所測(cè)定的影子的長(zhǎng)度,二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示,相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)變化量相同,周而復(fù)始,若冬至晷長(zhǎng)最長(zhǎng)是一丈三尺五寸,夏至晷長(zhǎng)最短是一尺五寸,(一丈等于10尺,一尺等于10寸),則秋分節(jié)氣的晷長(zhǎng)是( )
A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
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