已知橢圓D:數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.

解:∵橢圓D+=1的兩個焦點(diǎn)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),因而雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且c=5.
設(shè)雙曲線G的方程為-=1(a>0,b>0)
∴漸近線為bx±ay=0且a2+b2=25,
∵圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3,
=3,即=3,解得a=3,b=4,
∴G方程為-=1.
分析:依題意,設(shè)雙曲線G的方程為-=1(a>0,b>0),從而得到其漸近線方程,由橢圓方程可求得雙曲線G的兩個焦點(diǎn)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),利用圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3即可求得a,b,從而可得雙曲線G的方程.
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的簡單性質(zhì),考查點(diǎn)到直線間的距離公式,屬于中檔題.
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已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-m)2=9(m∈R),雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切.當(dāng)m=5時,求雙曲線G的方程.

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