Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）設a=1，b=-1，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)單調性的性質

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）a=1，b=-1時，f（x）=x²-x-lnx（x＞0），可得f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出．
（II）f′（x）=2ax+b-

1

x

=

2a(x+ b+ b2+8a 4a )(x- -b+ b2+8a 4a )

x

（a＞0），令f′（x）=0，解得x=

b2+8a -b

4a

．利用單調性可得當x=

b2+8a -b

4a

時，函數(shù)f（x）取得最小值．由于對任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得1=

b2+8a -b

4a

，化為2a+b=1．作差可得lna-（-2b）=lna+2-4a=g（a）．（a＞0）．利用導數(shù)研究其單調性極值即可得出．

解答： 解：（I）a=1，b=-1時，f（x）=x²-x-lnx（x＞0），
∴f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=1；令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得1＞x＞0．
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1）．
（II）f′（x）=2ax+b-

1

x

=

2ax2+bx-1

x

=

2a(x+ b+ b2+8a 4a )(x- -b+ b2+8a 4a )

x

（a＞0），
令f′（x）=0，解得x=

b2+8a -b

4a

．
當x＞

b2+8a -b

4a

時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；當0＜x＜

b2+8a -b

4a

時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．
∴當x=

b2+8a -b

4a

時，函數(shù)f（x）取得最小值．
∵對任意x＞0，f（x）≥f（1）．
∴1=

b2+8a -b

4a

，化為2a+b=1．
lna-（-2b）=lna+2-4a=g（a）．（a＞0）．
∴g′（a）=

1

a

-4=

1-4a

a

，
令g′（a）=0，解得a=

1

4

；令g′（a）＞0，解得0＜a＜

1

4

；令g′（a）＜0，解得a＞

1

4

．
∴當a=

1

4

時，函數(shù)g（a）取得最大值．
g(

1

4

)=ln

1

4

+2-4×

1

4

=-ln4＜0，
∴l(xiāng)na＜-2b．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．