Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有1個(gè)根小于-2，其余3個(gè)根都大于-1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

-

4

5

＜m＜0

．

Answer 1

分析：將方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，換元設(shè)t=x²，則對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，然后利用二次函數(shù)根的分布，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題意知m≠0，設(shè)函數(shù)f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，為偶函數(shù)．
因?yàn)榉匠逃?個(gè)根小于-2，其余3個(gè)根都大于-1，所以方程一個(gè)根小于-2，對(duì)應(yīng)的另一個(gè)根大于2，兩外兩個(gè)根一個(gè)在（-1，0）之間，一個(gè)在（0，1）之間．
設(shè)t=x²，則對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根t大于4，兩外一個(gè)根t∈（0，1）．
若m＞0，則

g(0)＞0 g(1)＜0 g(4)＞0

，即

3m＞0 m-(m-3)+3m＜0 16m-4(m-3)+3m＞0

，所以

m＞0 m＜-1 m＞- 4 5

，此時(shí)不等式組無解．
若m＜0，則

g(0)＜0 g(1)＞0 g(4)＞0

，即

3m＞0 m-(m-3)+3m＞0 16m-4(m-3)+3m＞0

，所以

m＞0 m＞-1 m＞- 4 5

，此時(shí)解得-

4

5

＜m＜0．
故答案為：-

4

5

＜m＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及一元二次方程根的分布問題．利用換元法將四次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性