Question

若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，曲線C₂的參數(shù)方程為：

x=-2- 2 t y=3+ 2 t

（t為參數(shù)），則曲線C₁上的點(diǎn)到曲線C₂上的點(diǎn)距離的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：第一步：將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
第二步：根據(jù)兩曲線的幾何特征及位置關(guān)系探求最值．

解答： 解：將ρ²=x²+y²及ρcosθ=x，ρsinθ=y代入ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0中，
得x²+y²-4x-4y+6=0，配方得（x-2）²+（y-2）²=2，
知曲線C₁是以C（2，2）為圓心，r=

2

為半徑的圓．
由

x=-2- 2 t y=3+ 2 t

，消去參數(shù)t，得直線C₂的方程普通方程為x+y-1=0，
從而圓心C到直線C₂的距離d=

|2+2-1|

12+12

=

3 2

2

，
如右圖所示，設(shè)圓C₁上的點(diǎn)P到直線C₂的距離最小，最小值為d′，
則d′=d-|CP|=

3 2

2

-r=

2

2

，
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化普通方程，以及點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．注意體會(huì)解答過(guò)程中利用幾何法處理距離最值問(wèn)題的巧妙性．
2．事實(shí)上，本題還可以設(shè)直線C₂的平行線為C′：x+y+m=0，聯(lián)立圓的方程，消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由△=0可得與圓相切的直線，再由兩平行直線C₂與C′之間的距離探求所求的最小值．