已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，

解析試題分析：（1）由已知，得，再根據(jù)離心率求，進而求，進而根據(jù)焦點位置求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得關(guān)于的一元二次方程，由題意，列方程得，同時可求出切點坐標，再求，設(shè)軸上存在滿足條件的點，以為直徑的圓恒過定點等價于，列方程得，由題意該方程與無關(guān)，故，從而求得點坐標，本題還可以先從特殊值入手，確定定點的坐標，再證明以為直徑的圓恒過定點．
試題解析：（1）由已知    2分
，
橢圓的方程為；    4分
（2），消去，得，則，可得，設(shè)切點，則，，故，又由，得，設(shè)在上存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，，即    10分
，
對滿足恒成立，
，
故在軸上存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點.  14分
考點：１、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、向量垂直的充要條件．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知定點F（1，0），點在軸上運動，點在軸上，點
為平面內(nèi)的動點，且滿足，．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)點是直線：上任意一點，過點作軌跡的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且，又點關(guān)于原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點，且

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，若過點M(2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知命題：，命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線．
（1）命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若命題“”為真，命題“”為假，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．

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