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【題目】已知：.

（1）討論的單調性；

（2）當，時，證明：

（i）在點處的切線與的圖像至少有兩個不同的公共點；

（ii）若另有公共點為，其中，則.

【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析，（ii）見解析

【解析】

（1）先求得函數到導數，然后對分成兩種情況，討論的單調性.（2）先判斷出的二階導數大于零.（i）先求得函數在點處的切線方程，，構造函數，利用的導數求得函數的單調區(qū)間，，以及結合零點存在性定理判斷出至少有兩個零點，也即切線與至少有兩個不同的公共點.（ii）取，根據函數的單調性，有，而，利用基本不等式證得.

（1），當時，在，當時，，.

（2）.

（i），

，，，.

，

時，，：，，，.

又

，

，

當時，，取時，，

故，使.故至少有兩個零點，也即切線與至少有兩個不同的公共點.

（ii）取，，

∴，∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的右焦點為F，點A（一2，2)為橢圓C內一點。若橢圓C上存在一點P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，則m的最大值是___．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖甲是某商店2018年（按360天計算）的日盈利額（單位：萬元）的統(tǒng)計圖.

（1）請計算出該商店2018年日盈利額的平均值（精確到0.1，單位：萬元）：

（2）為了刺激消費者，該商店于2019年1月舉行有獎促銷活動，顧客凡購買一定金額的高品后均可參加抽獎.隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數越來越多，該商店對前5天抽獎活動的人數進行統(tǒng)計如下表：（表示第天參加抽獎活動的人數）

1

2

3

4

5

50

60

70

80

100

經過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現與具有線性相關關系.

（�。└鶕媳硖峁┑臄祿米钚《朔ㄇ蟪�關于的線性回歸方程：

（ⅱ）該商店采取轉盤方式進行抽獎（如圖乙），其中轉盤是個八等分的圓.每位顧客最多兩次抽獎機會，若第一次抽到獎，則抽獎終止，若第一次未抽到獎，則再提供一次抽獎機會.抽到一等獎的獎品價值128元，抽到二等獎的獎品價值32元.若該商店此次抽獎活動持續(xù)7天，試估計該商店在此次抽獎活動結束時共送出價值為多少元的獎品（精確到0.1，單位：萬元）？

（3）用（1）中的2018年日盈利額的平均值去估計當月（共31天）每天的日盈利額.若商店每天的固定支出約為1000元，促銷活動日的日盈利額比平常增加20%，則該商店當月的純利潤約為多少萬元？（精確到0.1，純利潤=盈利額-固定支出-抽獎總獎金數）

參考公式及數據：，，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可參加一次抽獎.隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數越來越多，該商場對前5天抽獎活動的人數進行統(tǒng)計，y表示第x天參加抽獎活動的人數，得到統(tǒng)計表如下：

x

1

2

3

4

5

y

50

60

70

80

100

經過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現y與x具有線性相關關系.

（1）若從這5天隨機抽取兩天，求至少有1天參加抽獎人數超過70的概率；

（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計該活動持續(xù)7天，共有多少名顧客參加抽獎？

參考公式及數據：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如表的列聯表：

男

女

總計

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計

60

50

110

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

算得，．見附表：參照附表，得到的正確結論是（　　）

A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

C. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

D. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率低于，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解某中學學生對數學學習的情況，從該校抽了名學生，分析了這名學生某次數學考試成績（單位：分），得到了如下的頻率分布直方圖：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據頻率分布直方圖估計該組數據的中位數（精確到）；

（3）在這名學生的數學成績中，從成績在的學生中任選人，求次人的成績都在中的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】方程的曲線即為函數的圖像，對于函數，有如下結論：①在上單調遞減；②函數不存在零點；③ 的最大值為；④若函數和的圖像關于原點對稱，則由方程確定；其中所有正確的命題序號是（ ）

A.③④B.②③C.①④D.①②

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，，曲線與在原點處的切線相同.

（1）求，的值；

（2）求的單調區(qū)間和極值；

（3）若時，，求的取值范圍.

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