Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第一項最后一個因式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求出此時函數(shù)的值域，即可確定出f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+

1

2

sin2x
=sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

2

，∴0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．