Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），從而可求f（x）的最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調性質可求得f（x）在[0，

π

2

]上的最大值與最小值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）f（x）=sinxcosx-

1

2

sin（2x-

π

3

）=

1

2

sin2x-

1

2

（sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

）=

1

2

sin2x-

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）
則f（x）的最小正周期為π．…（7分）
（2）因為x∈[0，

π

2

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]．
所以

1

2

sin（2x+

π

3

）∈[-

3

4

，

1

2

]．
則f（x）在[0，

π

2

]，上的最大值為

1

2

，此時2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

．
f（x）在[0，

π

2

]，上的最小值為-

3

4

，此時2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

．…（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查三角函數(shù)中的恒等變換應用及正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．