（30分）如圖，已知拋物線C：，F(xiàn)為C的焦點，l為準(zhǔn)線，且l交x軸于E點，過點F任意作一條直線交拋物線C于A、B兩點。

（1）若，求證：；

（2）設(shè)M為線段AB的中點，P為奇素數(shù)，且點M到x軸的距離和點M到準(zhǔn)線l的距離均為非零整數(shù)，求證：點M到坐標(biāo)原點O的距離不可能是整數(shù)。

解析：（1）方法1：點F的坐標(biāo)為（p，0），設(shè)直線l的方程為

得  ①

設(shè)，則y1、y2是方程①的兩個根，有

由

因為，

又

所以

故   …………10分

方法2：如圖，設(shè)點A、B在準(zhǔn)線l上的射影分別為A′、B′，

則|AF|=|A′A|，|BF|=|B′B|。從而，由

因為

又

故 …………10分

（2）設(shè)M（x，y），依題意x、y均為非零整數(shù)，由對稱性，不防設(shè)x，y，則

 ②

因為點M在直線AB上，所以x=my+p  ③

由②、③消去m，得   ④

假設(shè)|OM|=r為正整數(shù)，則   ⑤

因為p為奇質(zhì)數(shù)，所以由④知，p|y，從而p|x。

于是，由⑤知p|r。

令，則有

。

消去y1，得

即

又有相同的奇偶性，且

所以

從而y1=0，于是y=-0，這與y為正整數(shù)矛盾。

故點M到坐標(biāo)頂點O的距離不可能是整數(shù)。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C：x2=2py（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點），直線l與圓O相切，切點在劣弧AB（含A、B兩點）上，且與拋物線C相交于M、N兩點，d是M、N兩點到拋物線C的焦點的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，已知拋物線C：y2=4x，過點A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ．
（Ⅰ）若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點，并求出定點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）假設(shè)直線PQ過點T（5，-2），請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數(shù)？如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）兩點，T為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點．
（1）若
TA
•
TB
=1，求直線l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若線段AB的中點在直線y=2上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若|AB|=20，求直線l的方程．

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