Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx（e為無理數(shù)，e≈2.718）
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)a＞

1

2e

，求函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最小值；
（3）若k為正數(shù)，且f（x）＞（k-1）x-k對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程．
（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=

1

e

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最小值．
（3）記h（x）=f（x）-（k-1）x+k=xlnx-（k-1）x+k，x＞1，則h′（x）=lnx+2-k，x＞1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x•lnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
∵f（e）=e，f′（e）=2，
∴y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為：y=2（x-e）+e，
即y=2x-e．
（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=

1

e

，
當(dāng)x∈（0，

1

e

）時，F(xiàn)′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1

e

，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)a≥

1

e

時，f（x）在[a，2a]單調(diào)遞增，[f（x）]_min=f（a）=alna，
當(dāng)

1

2e

＜a＜

1

e

時，a＜

1

e

＜2a，[f（x）]_min=f（

1

e

）=-

1

e

．
（3）記h（x）=f（x）-（k-1）x+k=xlnx-（k-1）x+k，x＞1，
則h′（x）=lnx+2-k，x＞1，
當(dāng)k≤3且k∈Z時，h（x）在x∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．
當(dāng)k≥4且k∈Z時，h（x）在x∈（1，e^k-2）上為減函數(shù)，在x∈[e^k-2，+∞）上為增函數(shù)，
∵k≥4，∴k-2≥2，∴2∈（1，e^k-2]，
∴h（2）=2ln2+2-k＜2+2-k≤0，不符合．
綜上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．

點(diǎn)評：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，解題時要注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．