Question

（本題滿分12分）設動點到定點的距離比到軸的距離大．記點的軌跡為曲線．

（1）求點的軌跡方程；

（2）設圓過，且圓心在的軌跡上，是圓在軸上截得的弦，當運動時弦長是否為定值？說明理由；

（3）過做互相垂直的兩直線交曲線于，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（1）;（2）見解析；（3）8

【解析】

試題分析：（1）求動點的軌跡方程的一般步驟：1．建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?．設點——設軌跡上的任一點P（x，y）．3．列式——列出動點P所滿足的關系式．4．代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡．本題可以建系，但細心一點就可發(fā)現(xiàn)滿足拋物線定義；（2）解決定值問題一般有兩種方法：一是根據(jù)題意求出相關的表達式，再根據(jù)已知條件列出方程組（或不等式），消去參數(shù)，求出定值或定點坐標；二是先利用特殊情況確定定值或定點坐標，再從一般情況進行驗證．本小題屬于第二類；（3）最值、范圍問題解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應用．

試題解析：（1） 由題意知，所求動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，方程為； 2分

（2）設圓心，半徑

圓的方程為 4分

令得

即弦長為定值； ．．6分

（3）設過F的直線方程為 ,

由得 ．．8分

由韋達定理得

同理得

四邊形的面積 12分

考點：圓錐曲線定值最值綜合及應用．