Question

在如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分別是側(cè)棱AA₁，CC₁上的點(diǎn)，且A₁P=CQ，則四棱錐B₁-A₁PQC₁的體積與多面體ABC-PB₁Q的體積比值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)以ACC₁A₁為底時，三棱柱的高為h，SAPCQ=SPQC1A1=

1

2

SACC1A1，求出V_B-APQC=

1

6

×SACC1A1×h，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

×SACC1A1×h，從而VB1-A1PQC1=(

1

2

-

1

6

)SACC1A1×h=

1

3

SACC1A1×h，由此能求出四棱錐B₁-A₁PQC₁的體積與多面體ABC-PB₁Q的體積比值．

解答： 解：設(shè)以ACC₁A₁為底時，三棱柱的高為h
∵AP=C₁Q
∴SAPCQ=SPQC1A1=

1

2

SACC1A1，
又V_B-APQC=

1

3

×SAPCQ×h
=

1

3

×

1

2

×SACC1A1×h
=

1

6

×SACC1A1×h，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
V=SA1C1B×AA1=（

1

2

×A1C1×h）×AA₁
=

1

2

×SACC1A1×h
∴VB1-A1PQC1=(

1

2

-

1

6

)SACC1A1×h=

1

3

SACC1A1×h，
∴四棱錐B₁-A₁PQC₁的體積與多面體ABC-PB₁Q的體積比值為：

1 3 SACC1A1×h

1 2 SACC1A1×h

=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查兩個幾何體的體積之比的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．