設(shè)橢圓方程為x2＋＝1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足＝·(＋)，點N的坐標(biāo)為(，)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：

(1)動點P的軌跡方程；

(2)||的最小值與最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)解法一：直線l過點M(0，1)設(shè)其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1．

　　記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2)是方程組

　　的解．

　　將①代入②并化簡得，(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以

　　于是

　　＝(＋)＝(，)＝(，)

　　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則

　　消去參數(shù)k得4x2＋y2－y＝0　　③

　　當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0．

　　解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以

　　x12＋＝1　�、堋　22＋＝1　　⑤

　�、埽莸脁12－x22＋(y12－y22)＝0，所以

　　(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0．

　　當(dāng)x1≠x2時，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0．　�、�

　　并且

　　將⑦代入⑥并整理得4x2＋y2－y＝0．　�、�

　　當(dāng)x1＝x2時，點A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，－2)，這時點P的坐標(biāo)為(0，0)也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為＋＝1．

　　(2)解：由點P的軌跡方程知x2≤，即－≤x≤，所以

　　||2＝(x－)2＋(y－)2＝(x－)2＋－4x2＝－3(x＋)2＋

　　故當(dāng)x＝時，||取得最小值，最小值為；當(dāng)x＝－時，||取得最大值，最大值為．

　　分析：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南省平頂山新鄉(xiāng)許昌市2009-2010學(xué)年高三第三次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型：022

在下列命題中：

①方程|x|＋|y|＝1表示的曲線所圍成區(qū)域的面積是2；

②與兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程為x2－y2＝0；

③與兩定點(－1，0)，(1，0)距離之和等于1的點的軌跡為橢圓；

④設(shè)實數(shù)x、y滿足x2＋y2＝1，則點(x＋y，xy)的軌跡方程為x2＝2y＋1且|y|≤．

正確的命題的序號是________．(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省五校2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文科試題 題型：022

已知直線l的方程為：y＝－(x－1)，直線l與x軸的交點為F，圓O的方程為：x2＋y2＝4，C、D在圓上，CF⊥DF，設(shè)線段CD的中點為M．

(1)如果CFDG為平行四邊形，求動點G的軌跡；

(2)已知橢圓的中心在原點，右焦點為F，直線l交橢圓于A、B兩點，又＝2，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓x2＋＝1的左、右兩個頂點分別為A，B.雙曲線C的方程為x2－＝1. 設(shè)點P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T.

(Ⅰ)設(shè)P, T兩點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，證明x1· x2＝1；

(Ⅱ)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點)的面積分別為S1與S2 ，且·≤15，求S－S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為，焦點是，點到直線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點，使得.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；           (2)求直線l的方程．

【解析】（1）中利用點F1到直線x＝－的距離為可知－＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

得到橢圓的方程。（2）中，利用，設(shè)出點A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式再利用 A、B在橢圓＋y2＝1上， 得到坐標(biāo)的值，然后求解得到直線方程。

解:(1)∵F1到直線x＝－的距離為，∴－＋＝.

∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y2＝1.……4分

(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)問知

,

∴……6分

∵A、B在橢圓＋y2＝1上，

∴……10分

∴l(xiāng)的斜率為＝.

∴l(xiāng)的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0.

 

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