Question

有下列命題：
①x=0是函數(shù)y=x³的極值點；
②三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點的充要條件是b²-3ac＞0；
③奇函數(shù)f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)減函數(shù)；
④若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：①利用極值的定義去判斷．②利用函數(shù)取得極值的充要條件進行判斷．
③利用奇函數(shù)的定義先確定m的值，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．④利用導(dǎo)數(shù)公式進行求值．
解答：解：①因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²≥0，即函數(shù)y=x³單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值，所以①錯誤．
②三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），要使函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點，則f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），有變號零點，
所以△＞0，即4b²-4×3ac＞0，即b²-3ac＞0，所以②正確．
③因為f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n為奇函數(shù)，所以m-1=0且n=0，所以m=1且n=0，所以函數(shù)f（x）=x³-48x．
f'（x）=3x²-48=3（x²-16），當x∈（-4，4）時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以③正確．
④g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]'（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]，
所以g′（2010）=2009×2008×…×1=2009!所以④正確．
故選D．
點評：本題主要考查命題的真假判斷以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，運算量較大．