Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x3﹣ x2+6x+m．
（1）對于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍；
（3）當m=2時，若函數(shù)g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上單調遞減，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣9x+6，

x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，

∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣ ，

∴a的最大值是﹣

（2）解：由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

∴f（x）極大值=f（1）= +m，f（x）極小值=f（2）=2+m，

故f（2）＞0或f（1）＜0時，方程f（x）=0僅有1個實數(shù)根，

∴m的范圍是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣2，+∞）

（3）解：∵g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0），

∴g′（x）=2x﹣ + ，

函數(shù)g（x）在[1，2]上單調遞減，則g′（x）≤0在[1，2]恒成立，

從而b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，令h（x）= ﹣x2，h′（x）=﹣ ﹣2x＜0，

∴h（x）在[1，2]遞減，h（x）min=h（2）=﹣ ，

故b的最大值是﹣ ．

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，得到3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，根據判別式△≤0，求出a的范圍即可；（2）求出f（x）的極大值和極小值，從而求出m的范圍即可；（3）求出g（x）的導數(shù)，問題轉化為b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，求出 ﹣x2在[1，2]上的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點，需要掌握若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．