Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；點D、E分別在BB₁，A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱錐C-ABDA₁與直三棱柱的體積之比為3：5．
（1）求異面直線DE與B₁C₁的距離；
（2）若BC=，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因B₁C₁⊥A₁B₁，且B₁C₁⊥BB₁，進而可推斷B₁C₁⊥面A₁ABB₁，進而推斷B₁E是異面直線B₁C₁與DE的公垂線，設BD的長度為x，則四棱椎C-ABDA₁的體積V₁為，里用體積公式表示出V₁，表示出四棱椎C-ABDA₁的體積V₁，同時直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₂，根據(jù)V₁：V₂=3：5求得x，從而求得B₁D，直角三角形A₁B₁D中利用勾股定理求得A₁D進而利用三角形面積公式求得B₁E．
（2）過B₁作B₁F⊥C₁D，垂足為F，連接A₁F，因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，故A₁B₁⊥面B₁DC₁．由三垂線定理知C₁D⊥A₁F，故∠A₁FB₁為所求二面角的平面角，先利用勾股定理求得C₁₁D，進而求得BF，進而可求tan求得∠A₁FB₁．
解答：解：（Ⅰ）因B₁C₁⊥A₁B₁，且B₁C₁⊥BB₁，故B₁C₁⊥面A₁ABB₁，
從而B₁C₁⊥B₁E，又B₁E⊥DE，故B₁E是異面直線B₁C₁與DE的公垂線
設BD的長度為x，則四棱椎C-ABDA₁的體積V₁為
而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₂為
由已知條件V₁：V₂=3：5，故，解之得
從而
在直角三角形A₁B₁D中，，
又因，
故
（Ⅱ）如圖1，過B₁作B₁F⊥C₁D，垂足為F，連接A₁F，因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，故A₁B₁⊥面B₁DC₁．
由三垂線定理知C₁D⊥A₁F，故∠A₁FB₁為所求二面角的平面角
在直角△C₁B₁D中，，
又因，
故，所以．
點評：本題主要考查了點線面間的距離計算．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．