Question

為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；
（3）將，，，，，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大數(shù)為，最小數(shù)為；（3），，，，，.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合函數(shù)根據(jù)函數(shù)、、的性質(zhì)，確定，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）由（1），（2）的結(jié)論只需比較與和與的大小，時，，即，在上式中，令，又，則，即得，整理得，估算的值，比較與3的大小，從而確定與的大小關(guān)系，再根據(jù)，確定與的大小關(guān)系，最后確定6個數(shù)從小到大的順序.
（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）因為，所以，，即，，
于是根據(jù)函數(shù)、、在定義域上單調(diào)遞增，
所以，，
故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，
由及（1）的結(jié)論得，即，
由得，所以，
由得，所以，
綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比較與和與的大小，
由（1）知，當時，，即，
在上式中，令，又，則，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
綜上所述，，即6個數(shù)從小到大的順序為，，，，，.