Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1，x∈[-2，5]
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使得y=f（x）在區(qū)間[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先對解析式平方，求出其對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可得到結(jié)論；
（2）先對解析式平方，求出其對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分解點是對稱軸不等式，再求出a的范圍．

解答：解：（1）由題意得f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²；
當a=-2時，f（x）=（x-2）²-3；
∴函數(shù)在x=2時，函數(shù)有最小值-3；
在x=-2時，函數(shù)有最大值f（-2）=（-2-2）²-3=13．
（2）∵f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+1-a²；
∴對稱軸x=-a，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)；
∴-a≥5或-a≤-2，即a≤-5或a≥2，
故當a≤-5或a≥2時，y=f（x）在區(qū)間[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)．．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．