【題目】已知函數(shù).
(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若方程在
上有且只有一個(gè)實(shí)根,求
的取值范圍.
【答案】(1) 時(shí),
有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)
時(shí),
有兩個(gè)極值點(diǎn).
(2) 或
或
【解析】
(1)對(duì)求導(dǎo),討論
的解是否在
,在
時(shí)判斷解左右的導(dǎo)數(shù)符號(hào),確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(2)利用(1)所求,對(duì)a討論,研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判斷何時(shí)方程
在
上有且只有一個(gè)實(shí)根.
(1)的定義域?yàn)?/span>
,
.
由得
或
.
當(dāng)時(shí),由
得
,由
得
,
∴在
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,
在
處取得極小值,無(wú)極大值;
當(dāng),即
時(shí),由
得
,或
,
由得
,
∴在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
在
處取得極小值,在
處取得極大值.
綜上,當(dāng)時(shí),
有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)
時(shí),
有兩個(gè)極值點(diǎn).
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)
,
則在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
顯然函數(shù)與
的單調(diào)性是一致的.
①當(dāng)時(shí),由(1)知函數(shù)
在區(qū)間
上遞減,
上遞增,
所以在
上的最小值為
,
由于,要使
在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
需滿足或
,解得
或
.
②當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
∵,∴當(dāng)
時(shí),總有
.
∵,
∴,又
∴在
上必有零點(diǎn).
∵在
上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時(shí),
在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)或
或
時(shí),方程
在
上有且只有一個(gè)實(shí)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】七巧板是古代中國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明的一種中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,它由五塊等腰直角三角形,一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.清陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷一中寫道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.體物肖形,隨手變幻,蓋游戲之具,足以排悶破寂,故世俗皆喜為之.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖,以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù),求圓
的參數(shù)方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為
,(
為參數(shù)),曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),若
與
相交于
兩點(diǎn),求
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,且A、C位于x軸同側(cè),若|AC|=2|AF|,則|BF|等于( �。�
A. 2B. 3C. 4D. 5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn),市民的出行也越來(lái)越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),某條地鐵線路運(yùn)行時(shí),發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)(單位:人)與發(fā)車時(shí)間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關(guān)系:
,其中
.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過(guò)1500人,試求發(fā)車時(shí)間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔t為多少時(shí),平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(I)若,判斷函數(shù)
在
的單調(diào)性;
(II)設(shè),對(duì)
,有
恒成立,求
的最小值;
(III)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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