Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心I，且有

IG

=λ

F1F2

（其中λ為實(shí)數(shù)）
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）過焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，若△F₁MN面積的最大值為3，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出重心G的坐標(biāo)，由向量關(guān)系求出點(diǎn)I的坐標(biāo)，由面積的兩種表示求出a與c的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的斜率．
（2）設(shè)出橢圓與直線的方程并且聯(lián)立方程得到關(guān)于y的一元二次方程，以F₁F₂為底邊寫出三角形的面積表達(dá)式，利用函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值，并且求出此時(shí)m的數(shù)值，即得到橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），c=

a2-b2

，則有：G(

x0

3

，

y0

3

)，I的縱坐標(biāo)為

y0

3

，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F1F2|•|y0|=

1

2

(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|

y0

3

|
?2c•3=2a+2c?a=2c?e=

c

a

=

1

2

（2）由（1）可設(shè)橢圓C的方程為：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1(c＞0)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線MN的方程為：x=my+c，代入

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
可得：3（my+c）²+4y²=12c²?（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴y1+y2=-

6mc

4+3m2

，y1y2=-

9c2

4+3m2

∴S△F1MN=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=c

(- 6mc 4+3m2 )2-4(- 9c2 4+3m2 )

=12c2

m2+1 (4+3m2)2

令m²+1=t，則有t≥1且m²=t-1，
∴

m2+1

(4+3m2)2

=g(t)=

t

[4+3(t-1)]2

=

t

9t2+6t+1

=

1

9t+ 1 t +6

，
易證g（t）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（t）_max=g（1）=

1

16

，
∴S△F1MN的最大值為12c2•

1

4

=3?c2=1?

x2

4

+

y2

3

=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的有關(guān)數(shù)值的關(guān)系以及結(jié)合橢圓的形狀和幾何意義兩行表達(dá)三角形的面積，最終利用函數(shù)的形狀解決問題．