Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）=0在[1，e²]上有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導，當導數(shù)f'（x）大于0時可求單調(diào)增區(qū)間，當導數(shù)f'（x）小于0時可求單調(diào)減區(qū)間．
（2）f（x）=0在[1，e²]上有解即a=

lnx

x

在x∈[1，e²]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=

lnx

x

在[1，e²]上的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）定義域為（0，+∞）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
當a＞0時，令f′(x)＞0，x＜

1

a

令f′(x)＜0，x＞

1

a

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
（Ⅱ）lnx-ax=0在x∈[1，e²]上有解
故a=

lnx

x

在x∈[1，e²]上有解
令g(x)=

lnx

x

(1≤x≤e2)g′(x)=

1-lnx

x2

令g′（x）=0得x=eg(1)=0，g(e)=

1

e

，g(e2)=

2

e2

∴0≤g(x)≤

1

e

∴0≤a≤

1

e

點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導數(shù)來確定函數(shù)增減區(qū)間的問題．