如圖,梯形ABCD中,CD//AB
,E是AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,
使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置,且二面角的大小為1200.
(I)求證:;
(II)求直線PD與平面BCDE所成角的大小;
(III)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
解析:(I)連結(jié)AC交DE于F,連結(jié)PF.
,.
又,,
,
即CA平分. …………2分
是正三角形,
,即PF⊥DE,CF⊥DE,
∴DE⊥面PCF,∴DE⊥PC. …………4分
(II)過P作于O,連結(jié)OD,設(shè)AD = DC = CB = a,則AB = 2a,
∵DE⊥面PCF,∴DE⊥PO,
∴PO⊥面BCDE,
∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角. …………6分
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角,
∴∠PFO = 60°,在RT△POD中,
,
E |
直線PD與平面BCDE所成角是.……… …8分
(III)∵DE∥BC,DE在平面PBC外,,點(diǎn)到面的距離即為點(diǎn)F到面PBC的距離,過點(diǎn)F作FG⊥PC,垂足為G.
∴DE⊥面PCF,
.,
,
∴FG的長即為點(diǎn)F到面PBC的距離. …………10分
在菱形ADCE中,,.
,,
. …………12分
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