Question

在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，AF、CF分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，連接BF，若

AB

AC

=

8

5

，則tan∠AFB的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：過(guò)F點(diǎn)分別作AB、BC、AC的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E、G，則可證明有BF平分∠ABC，故可求得∠AFB=∠ABC，由

AB

AC

=

8

5

可求得cos∠AFB、sin∠AFB的值，從而可求tan∠AFB的值．

解答： 解：過(guò)F點(diǎn)分別作AB、BC、AC的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E、G，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，
∴EF=GF，GF=DF，
∴EF=DF，
∴BF平分∠ABC．
若設(shè)∠ABC=2x，則有：∠ACB=4x，∠BAC=π-6x，∠FAC=3x，∠ABF=x，故有∠AFB=2x，
在△ABC中，若

AB

AC

=

8

5

，則由正弦定理知：

sin∠ACB

sin∠ABC

=

8

5

⇒

sin4x

sin2x

=

2sin2xcos2x

sin2x

=

8

5

⇒cos2x=cos∠AFB=

4

5

⇒sin∠AFB=

1-cos2∠AFB

=

3

5

，
故有：tan∠AFB=

sin∠AFB

cos∠AFB

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了正弦定理的應(yīng)用，考察了數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．