(理)設(shè)雙曲線(xiàn)C:(a>0,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),△FPQ為等邊三角形.
(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的值;
(2)若雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為求雙曲線(xiàn)c的方程.
【答案】分析:(1)根據(jù)雙曲線(xiàn)方程可知,雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為:x=,兩條漸近線(xiàn)方程為:,從而可得兩交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)△PFQ為等邊三角形,則有,從而可建立方程,利用c2-a2=b2,即可求得雙曲線(xiàn)C的離心率e的值;
(2)由(1)得雙曲線(xiàn)C的方程為.把代入得
利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式,可求弦長(zhǎng),利用雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為,建立方程,可求a2的值,從而得到雙曲線(xiàn)C的方程.
解答:解:(1)雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為:x=,兩條漸近線(xiàn)方程為:
∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 ,、,
設(shè)M為PQ與x軸的交點(diǎn)
∵△PFQ為等邊三角形,則有(如圖).
,即
解得 ,c=2a.

(2)由(1)得雙曲線(xiàn)C的方程為.直線(xiàn)方程為
代入得
依題意
∴a2<6,且a2≠3.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
,
∴雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為=


整理得 13a4-77a2+102=0.
∴a2=2或
∴雙曲線(xiàn)C的方程為:
點(diǎn)評(píng):本題以雙曲線(xiàn)的性質(zhì)為載體,考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查雙曲線(xiàn)的離心率,考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理)設(shè)雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),△FPQ為等邊三角形.
(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的值;
(2)若雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為
b2e2
a
求雙曲線(xiàn)c的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x2 +1相切,則該雙曲線(xiàn)的離心率等于(   )

A.           B.2              C.            D.         

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(理)設(shè)雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),△FPQ為等邊三角形.
(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的值;
(2)若雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為
b2e2
a
求雙曲線(xiàn)c的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年貴州省黔西南州興仁縣下山中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

(理)設(shè)雙曲線(xiàn)C:(a>0,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),△FPQ為等邊三角形.
(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的值;
(2)若雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為求雙曲線(xiàn)c的方程.

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