Question

已知點M（1，-1）與點N（-1，1），動點P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-

1

3

．設直線MP與NP分別與直線x=3相交于A，B兩點，若點P使得△PMN與△PAB的面積相等，則點P的橫坐標是多少？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)點M（1，-1）與點N（-1，1），動點P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-

1

3

，得到關系式，化簡后即為動點P的軌跡方程，再假設存在，由面積公式得：

1

2

|PA||PB|sin∠APB=

1

2

|PM||PN|sin∠MPN，根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關于點P的縱坐標的方程，解之即得．

解答： 解：設點P的坐標為（x，y）
∵點M（1，-1）與點N（-1，1），動點P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-

1

3

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

，
化簡得x²+3y²=4（x≠±1）．
即動點P軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）
若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為（x₀，y₀）
則

1

2

|PA||PB|sin∠APB=

1

2

|PM||PN|sin∠MPN
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

∴

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

∵x₀²+3y₀²=4，∴y₀=±

33

9

．
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為（

5

3

，±

33

9

）．

點評：本題主要考查了軌跡方程、三角形中的幾何計算等知識，屬于中檔題．