中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F（0，）的橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求此橢圓方程.

思路解析：設(shè)橢圓的方程為a2x2+b2y2=a2b2（a＞b＞0）,與直線方程y=3x-2聯(lián)立,建立a、b的方程組，求出a、b的值.

解：設(shè)所求橢圓的方程為a2x2+b2y2=a2b2（a＞b＞0）,

把y=3x-2代入橢圓方程,整理得（a2+9b2）x2-12b2x+4b2-a2b2=0.       ①

設(shè)直線y=3x-2與橢圓的交點(diǎn)分別為A（x1，y1）、B（x2,y2）,則AB的中點(diǎn)為M(，).

由①得x1+x2=,∴=.

由題設(shè)得=.                                                                    ②

又橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，），即c=，∴a2-b2=50.                 ③

由②③解得a2=75，b2=25.

∴所求橢圓的方程為+=1.

方法歸納

    求橢圓方程+=1（a＞b＞0）或a2x2+b2y2=a2b2(a＞b＞0)實(shí)質(zhì)就是根據(jù)問(wèn)題條件確定a、b，進(jìn)而得到a2、b2，方程即可寫出.鑒于這種情況，根據(jù)方程的構(gòu)成特點(diǎn)，一般地就直接求出a2、b2，從而得方程.


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中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F1（0，5
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）的橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是
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，求此橢圓的方程．

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（本題12分）

已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F（0，）的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程。

 

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