Question

已知直線l₁過點(diǎn)A（2，1），B（0，3），直線l₂的斜率為-3且過點(diǎn)C（4，2）．
（Ⅰ）求l₁、l₂的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M(-2，2)，N(

15

2

，

7

2

)，若直線l₃過點(diǎn)D且與線段MN相交，求直線l₃的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的斜率

專題：直線與圓

分析：（I）先求出直線l₁和l₂所在的直線方程，然后聯(lián)立兩個(gè)方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）首先得出直線l₃和線段MN所在直線的方程，然后聯(lián)立兩直線方程即可求出斜率的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l₁過點(diǎn)A（2，1），B（0，3），
∴直線l₁的方程為

y-1

x-2

=

3-1

0-2

，即y=-x+3…（2分）
又∵直線l₂的斜率為-3且過點(diǎn)C（4，2）
∴直線l₂的方程為y-2=（-3）（x-4），即y=-3x+14…（4分）
∴

y=-3x+14 y=-x+3

，解得

x= 11 2 y=- 5 2

即l₁、l₂的交點(diǎn)D坐標(biāo)為(

11

2

，-

5

2

)…（6分）
說明：在求直線l₁的方程的方程時(shí)還可以利用點(diǎn)斜式方程或一般式方程形式求解．
（Ⅱ）由題設(shè)直線l₃的方程為y+

5

2

=k(x-

11

2

)…（7分）
又由已知可得線段MN的方程為3x-19y+44=0(-2≤x≤

15

2

)…（8分）
∵直線l₃且與線段MN相交
∴

y+ 5 2 =k(x- 11 2 ) 3x-19y+44=0(-2≤x≤ 15 2 )

解得-2≤

209k+183

38k-6

≤

15

2

…（10分）
得k≤-

3

5

或k≥3
∴直線l₃的斜率k的取值范圍為k≤-

3

5

或k≥3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及直線斜率的應(yīng)用，屬于中檔題．