Question

 

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， AC=BC，

且AM=BM=CM，M為AB的中點(diǎn).

（1）求證： AC₁⊥CB ；

（2）若∠AC₁B=60°，求CB與平面AC₁B

所成角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：(1)由已知直三棱柱ABC——A₁B₁C₁可知，?

CC₁⊥平面ABC，又M為AB的中點(diǎn)，?所以有CM⊥AB……（2分）?

又AM=MB=MN，可知AC⊥CB……（3分）?

又AC為AC₁在平面ABC內(nèi)的射影，?∴AC₁⊥CB……（5分）

（2）∵Rt△C₁CA≌Rt△C₁CB，?∴AC₁=BC₁……（6分）?

又∠AC₁B=60°，故△ABC為正三角形，?

∴Rt△ACB≌Rt△C₁CB……（8分）?

∴CC₁=CA=CB，故C在平面ABC₁內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，∠CBH為CB與平面ABC所成的角……（10分）?

在Rt△CBH中，cos∠CBH= = = ……（12分）

解法二：(1)令MC=1，則有A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0)……（1分）?

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱?∴CC₁⊥平面ABC?

∴CC₁平行于Z軸……（2分）?

故可設(shè)C₁（0，1，m)于是?

?=(1,1,m),? =(1,-1,0)……（4分）?

∵?·?=1+(-1)+0=0?∴?⊥?……（5分）

(2)∵?=(1,1,m),?=(-1,1,m)?

||=||，又已知∠AC₁B=60°?

∴△ABC₁為正三角形，AC₁=BC₁=AB=2……（7分）?

在Rt△C₁CB中，CB=，可得CC₁=，故C（0，1，）?

連結(jié)MC₁，作CH⊥MC₁，垂足為H ，設(shè)H（0，λ，λ）（λ>0)?

∵?=(0,1-λ, λ),? =(0,1, )?

∴?·=1-λ-2λ=0,∴λ=……（9分）?

∴H(0, ,)可得=(0,,- )連結(jié)BH?

則有=(-1,, )，∴?·=0……（10分）?

∴?⊥?，又MC₁∩BH=H，∴HC⊥平面ABC₁?

∠CBH為CB與平面ABC₁所成的角，又=(-1,1,0)?

∴cos∠CBH=  = ……（12分）