【題目】設(shè)函數(shù),
.
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意的正數(shù)a,都存在實(shí)數(shù)t,滿足:對(duì)任意的,
.
【答案】(1)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為
;(2)
;(3)見解析
【解析】
(1)求解,利用
,
,解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間;
(2),其中
,再次構(gòu)造函數(shù)令
,分析
的零點(diǎn)情況,
,令
,
,列表分析得出
單調(diào)性,判斷
,分類討論求解①若
,②若
,③若
,
的單調(diào)性,
最大值,最小值,確定有無(wú)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極值即可;
(3)存在:
,
恒成立,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷證明,令
,
,
,求解最大值,得出
即可.
(1)當(dāng)時(shí),
,
,
令,
,列表分析
x | 1 | ||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
故的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
(2),
,其中
,
令,分析
的零點(diǎn)情況.
,令
,
,列表分析
x | |||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
,
而,
,
,
①若,則
,
故在
內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn),舍;
②若,則
,
,
,
因此在
有兩個(gè)零點(diǎn),設(shè)為
,
,
所以當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增,此時(shí)
在
內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn);
③若,則
,
,
,因此
在
有一個(gè)零點(diǎn),
在
內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn);
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
(3)存在:
,
恒成立.
證明如下:
由(2)得在
上單調(diào)遞增,
且,
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
(*),所以
.
故在
上存在唯一的零點(diǎn),設(shè)為
.
由
x | |||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
知,
.
又,而
時(shí),
(**),
所以.
即,
.
所以對(duì)任意的正數(shù)a,都存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的
,使
.
補(bǔ)充證明(*):
令,
.
,所以
在
上單調(diào)遞增.
所以時(shí),
,即
.
補(bǔ)充證明(**)
令,
,
,所以
在
上單調(diào)遞減.
所以時(shí),
,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,(其中常數(shù)
).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
,若圓
的一條切線與橢圓
有兩個(gè)交點(diǎn)
,且
.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為
,點(diǎn)
在圓
上,直線
與橢圓
相交于另一點(diǎn)
,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則該三位數(shù)為奇數(shù)的概率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:
(
是參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,
底面
,M為
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,且沿側(cè)棱
展開三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)為
,求作點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影H,請(qǐng)說(shuō)明作法和理由,并求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表:
數(shù)學(xué)(x)
語(yǔ)文(y) | 90分~100分 (數(shù)A) | 80分~90分 (數(shù)B) | 60分~80分 (數(shù)C) |
90分~100分 (語(yǔ)A) | 20 | 7 | 5 |
80分~90分 (語(yǔ)B) | 18 | 9 | 6 |
60分~80分 (語(yǔ)C) | 4 | a | b |
設(shè)x,y分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī),若抽取學(xué)生n人,成績(jī)?cè)?/span>90分~100分者記為A等級(jí)(優(yōu)秀),成績(jī)?cè)?/span>80分~90分者記為B等級(jí)(良好),成績(jī)?cè)?/span>60分~80分者記為C等級(jí)(及格).例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>A等級(jí)的共有人.已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.09.
(1)若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)良好率是30%,求a,b的值;
(2)在語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?/span>C等級(jí)的學(xué)生中,已知,
,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>B等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)少的概率.
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