已知橢圓E: +=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.


解:(1)拋物線y2=8x的焦點為(2,0),

又橢圓以拋物線焦點為頂點,

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴橢圓E的方程為+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l與橢圓交于兩點,

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1、x2是上述方程的兩個根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由點P在橢圓上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·為定值.


練習冊系列答案
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(A) -y2=1      (B)x2-=1

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