Question

用平行于四面體ABCD的一組對棱AB、CD的平面截此四面體(如圖)．

(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；

(2)如果AB＝CD＝a．求證：四邊形MNPQ的周長為定值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AB∥平面MNPQ． 　　平面ABC∩平面MNPQ＝MN． 　　且AB平面ABC． 　　∴由線面平行的性質(zhì)定理知，AB∥MN． 　　同理可得PQ∥AB　　3分 　　∴由平行公理可知MN∥PQ． 　　同理可得MQ∥NP． 　　∴截面四邊形MNPQ為平行四邊形　　5分 　　(2)∵由(1)可知MN∥AB．∴． 　　∵MN＝λAB＝λa，MC＝λAC　　7分 　　又∵MG∥CD，∴． 　　∴MQ＝·CD＝(1－λ)a　　9分 　　∴MN＋MQ＝λa＋(1－λ)a＝a． 　　∴平行四邊形MNPQ的周長2(MN＋MQ)＝2a定值　　10分