Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
①若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（1-x），求函數(shù)在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
②若函數(shù)f（x）有兩個(gè)正的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

解：（1）由f（x+1）=f（1-x）得（x+1）²+2a（x+1）+2=（1-x）²+2a（1-x）+2
即4（1+a）x=0對(duì)任意x∈R恒成立
∴a=-1
∴f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）=（x-1）²+1，
∴f（x）在[-5，1]上單調(diào)遞減，在[1，5]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（-5）=37，
∴f（x）_min=f（1）=1
（2）設(shè)方程x²+2ax+2=0的兩根為x₁，x₂，則
解得：
（3）對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-a
當(dāng)-a＜-5，即a＞5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（-5）=27-10a；
當(dāng)-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時(shí)，f（x）在[-5，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，5]上單調(diào)遞增
∴；
當(dāng)-a＞5，即a＜-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（5）=27+10a
綜上：
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（1-x），確定二次函數(shù)的解析式，從而可以確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
（2）函數(shù)f（x）有兩個(gè)正的零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)正根，利用韋達(dá)定理可以求得a的取值范圍；
（3）確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再與函數(shù)的定義域結(jié)合，即可求得f（x）在x∈[-5，5]的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查二函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的最值，搞清二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系是關(guān)鍵．