已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)對任意x、y∈(0，＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且當0＜x＜1時，f(x)＞0

(1)證明：當x＞0時，f(x)＜0

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并加以證明

(3)如果對任意實數(shù)x、y∈(0，＋∞)，f(x2＋y2)≤f(a)＋f(xy)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)，則于是

　　又為奇函數(shù)，所以，即

　　(2)分下述三種情況

　　①那么，而當的最大值為1

　　故此時不可能使

　�、谌�，此時若，則的最大值為，得，這與矛盾

　�、廴�，因為時，是減函數(shù)，則于是有

　　

　　考慮到解得　　15分

　　綜上所述


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當x∈[0，2）時，f（x）=-x2+2x，設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為an（n∈N+）且{an}的前n項和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=（　　）
A、3
B、
5
2
C、2
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[0，+∞）的函數(shù)f(x)=
x+2(x≥2)
x2，(0≤x＜2)
，若f(f(k))=
17
4
，則實數(shù)k=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），當x∈[0，2）時，f（x）=-2x2+4x．設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為an（n∈N*），且{an}的前n項和為Sn，則Sn=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖所示，則不等式f（x）•g（x）＞0的解集是
(0，
1
2
)∪(1，2)∪(2，+∞)
(0，
1
2
)∪(1，2)∪(2，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系中，如果不同兩點A（a，b），B（-a，-b）都在函數(shù)y=h （x ）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)h（x）的一組“友好點”（[A，B]與[B，A]看作一組）．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=
2
f（x），且當x∈[0，2]時，f（x）=sin
π
2
x．則函數(shù)f（x）=
f(x)，0＜x≤8
-
-x
，-8≤x＜0
的“友好點”的組數(shù)為（　　）

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