Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）當(dāng)x∈(-

1

2

，1)時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)H（x）=[f（x）+a-1]e^x，當(dāng)a＞-1且a≠0時(shí)，時(shí)求函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：（I）討論a，分布就①a=0，②a＞0，③a＜0三種情況求函數(shù)的最大值，要使f（x）＞0恒成立?f（x）_min＞0
（II）代入整理可得H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)h′(x)=a(x-

1

a

)(x+1)ex就①

1

a

＞ -1②

1

a

＜-1③

1

a

= -1三種情況討論函數(shù)H（x）的單調(diào)性及求極值．

解答：解：（I）①當(dāng)a=0時(shí)f（x）=-x+1，在(-

1

2

，1)上f（x）＞0一定成立
②當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=a(x-

1

a

)(x-1)當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)y=f（x）的圖象開(kāi)口向上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）和(

1

a

，0)要使f（x）＞0在(-

1

2

，1)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

≥1，即0＜a≤1；
當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)y=f（x）的圖象開(kāi)口向下，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）和(

1

a

，0)要使f（x）＞0在(-

1

2

，1)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

≤-

1

2

，即-2≤a≤0
綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，
H′(x)=[ax2+(a-1)x-1]ex=a(x-

1

a

)(x+1)ex
令H'（x）=0，解得x=

1

a

，或x=-1
①當(dāng)a＞0時(shí)，則-1＜

1

a

．當(dāng)x變化時(shí)，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù)H（x）在（-∞，-1），(

1

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-1，

1

a

)內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e^-1函數(shù)H（x）在x=

1

a

處取得極小值H(

1

a

)，且H(

1

a

)=(a-1)e

1

a

②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，則

1

a

＜-1，當(dāng)x變化時(shí)，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù)H（x）在(-∞，

1

a

)，（-1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
在(

1

a

，-1)內(nèi)是增函數(shù)函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e-1函數(shù)H（x）在x=

1

a

處取得極小值H(

1

a

)，且H(

1

a

)=(a-1)e

1

a

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及判斷函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間，但當(dāng)極值點(diǎn)中含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)極值的大小討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用、