已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,過頂點A任作一條直線l,與異面直線A1C1,B1C所成的角都為60°,則這樣的直線l可作( )
A.1條
B.2條
C.3條
D.4條
【答案】分析:根據(jù)題意,因為A1D∥B1C,所以直線A1C1和B1C所成的角即為直線A1C1和A1D所成的角,所以過A1在空間作直線l,使l與直線A1C1和B1C所成的角都等于60°,可轉(zhuǎn)化為過點A在空間作直線l,使l與直線A1C1和A1D所成的角都等于 60°.可分在平面ACD1內(nèi)和在平面ACD1外兩種情況尋找.因為要與直線A1C1和A1D所成的角都相等,故在平面ACD1內(nèi)可考慮角平分線;在平面ACD1外可將角平分線繞點A旋轉(zhuǎn)考慮.
解答:解:因為A1D∥B1C,所以直線A1C1和B1C所成的角即為直線A1C1和A1D所成的角,所以過A1在空間作直線l,使l與直線A1C1和B1C所成的角都等于60°,可轉(zhuǎn)化為過點A在空間作直線l,使l與直線A1C1和A1D所成的角都等于 60°.
因為∠ACD1=60°,∠ACD1的外角平分線與A1C1和A1D所成的角相等,均為60°,所以在平面ACD1內(nèi)有一條滿足要求.
因為∠ACD1的角平分線與A1C1和A1D所成的角相等,均為30°,將角平分線繞點A向上轉(zhuǎn)動到與面ACD1垂直的過程中,存在兩條直線與直線A1C1和B1C所成的角都等于60°,故符合條件的直線有3條.
故選C.
點評:本題考查異面直線所成角的問題,考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.