如圖，設(shè)拋物線(xiàn)C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線(xiàn)C1在x軸上方的交點(diǎn)為P，延長(zhǎng)PF2交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，M是拋物線(xiàn)C1上一動(dòng)點(diǎn)，且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)△PF1F2的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，求△MPQ面積的最大值．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，y2=4x，則F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）
設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則c=1，又e=
c
a
=
1
2
，所以a=2，b2=3
所以橢圓C2方程為
x2
4
+
y2
3
=1（4分）
（2）因?yàn)閏=m，e=
c
a
=
1
2
，則a=2m，b2=3m2，
設(shè)橢圓方程為
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
由
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
y2=4mx
，得3x2+16mx-12m2=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得xP=
2m
3
代入拋物線(xiàn)方程得yP=
2
6
3
m，
即P（
2m
3
，
2
6
m
3
）
|PF2|=xP+m=
5m
3
，|PF1|=2a-|PF2|=4m-
5m
3
=
7m
3
，|F1F2|=2m=
6m
3
，
因?yàn)椤鱌F1F2的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以m=3（8分）
此時(shí)拋物線(xiàn)方程為y2=12x，P（2，2
6
），直線(xiàn)PQ方程為：y=-2
6
（x-3）．
聯(lián)立
y=-2
6
(x-3)
y2=12x
，得2x2-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以xQ=
9
2
，代入拋物線(xiàn)方程得yQ=-3
6
，即Q（
9
2
，-3
6
）
∴|PQ|=
(2-
9
2
)2+(2
6
+3
6
)2
=
25
2
．
設(shè)M（
t2
12
，t）到直線(xiàn)PQ的距離為d，t∈（-3
6
，2
6
）
則d=
|
6
6
t2+t-6
6
|
24+1
=
6
30
|（t+
6
2
）2-
75
2
|（10分）
當(dāng)t=-
6
2
時(shí)，dmax=
6
30
•
75
2
=
5
6
4
，
即△MPQ面積的最大值為
1
2
×
25
2
×
5
6
4
=
125
6
16
．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分13分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A、B兩點(diǎn).（Ⅰ）如果點(diǎn)A在圓（c為橢圓的半焦距）上，且|F1A|=c，求橢圓的離心率；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象，無(wú)論m為何值時(shí)恒過(guò)定點(diǎn)（b，a），求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分16分）已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M的方程是．
（1）若P是圓M上的任意一點(diǎn)，求證：是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)Q，且cos∠F1QF2=，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若在曲線(xiàn)f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)這條切線(xiàn)為曲線(xiàn)f（x，y）=0的“自公切線(xiàn)”．下列方程：
①x2-y2=1；
②y=x2-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
4-y2

對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)中存在“自公切線(xiàn)”的有______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)（-
3
，0），（
3
，0）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）若AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-
1
2
，求直線(xiàn)AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
2
+y2=1的弦被點(diǎn)（
1
2
，
1
2
）平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A（-1，0），B（1，0），過(guò)曲線(xiàn)C1：y=x2-1（|x|≥1）上一點(diǎn)M的切線(xiàn)l，與曲線(xiàn)C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求此時(shí)MN所在直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且
PF1
=3
F1Q
，求直線(xiàn)PQ的斜率；
（2）若橢圓E過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)F1作兩條互相垂直的直線(xiàn)，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

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