Question

已知f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
（Ⅰ）求f（x）的定義域、值域和最小正周期；
（Ⅱ）若f（

α

2

）-f（

α

2

+

π

4

）=

6

，其中α∈（0，

π

2

），求α．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）化簡可得f（x）=2cos2x-3，可得周期，由正切函數(shù)的定義域可得定義域和值域；
（II）化簡已知條件可得sin（α+

π

4

）=

3

2

，由α的范圍可得．

解答： 解：（I）化簡可得f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
=

cosx-sinx

cosx

（2cos²x+2sinxcosx）-3=2（cos²x-sin²x）-3=2cos2x-3，
由正切函數(shù)的定義域可得f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}
值域?yàn)椋?5，-1]，
函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（II）∵f（

α

2

）-f（

α

2

+

π

4

）=2cosα-2cos（α+

π

2

）
=2（cosα+sinα）=2

2

sin（α+

π

4

）=

6

，
∴sin（α+

π

4

）=

3

2

，
∵α∈（0，

π

2

）
∴α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴α+

π

4

=

π

3

或

2π

3

，
解得α=

π

12

，或α=

5π

12

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，涉及函數(shù)的定義域值域和周期性，屬基礎(chǔ)題．