Question

過點P（1，4）作直線L，直線L與x，y的正半軸分別交于A，B兩點，O為原點，
①△ABO的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程；
②當|OA|+|OB|最小時，求此時直線L的方程．

Answer 1

分析：方法一：將過點P（1，4）作直線L設為截距式，則

1

a

+

4

b

=1，①△ABO的面積為S=

1

2

ab，②|OA|+|OB|=a+b，分別利用均值定理解決其最值問題，進而求得直線方程；
方法二：將過點P（1，4）作直線L設為點斜式，將A、B坐標用k表示，進而將①△ABO的面積為S，②|OA|+|OB|表示為關于k的函數，分別求最值，進而求直線方程

解答：解：法一：依題意可設直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0 ）
則A（a，0 ），B（0，b ），直線L過點P（1，4），∴

1

a

+

4

b

=1，
又a＞0，b＞0
∴

1

a

+

4

b

=1≥2

4 ab

=

4

ab

，∴

ab

≥4，ab≥16
①S△ABO=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×ab≥

1

2

×16=8
當且僅當

1

a

=

4

b

=

1

2

，即a=2，b=8時取等號，
∴S的最小值為8
此時直線方程為：

x

2

+

y

8

=1，即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=a+b=（a+b ）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

4ab ab

=9
當且僅當

b

a

=

4a

b

，即b=2a且

1

a

+

4

b

=1，即a=3，b=6時取等號，
∴|OA|+|OB|的值最小為9，此時直線方程為：

x

3

+

y

6

=1即：2x+y-6=0
法二：①依題意可設直線l的方程為：y-4=k （ x-1 ） （ k＜0 ）
令 x=0，則y=4-k，B（ 0，4-k）；令 y=0，則x=-

4

k

+1，A （-

4

k

+1，0）
S=

1

2

（4-k）（ -

4

k

+1）=

1

2

（-

16

k

-k+8 ）≥8，
當且僅當-16/k=-k時，即 k=-4時取等號，S的最小值為8，
此時直線方程為：y-4=-4（ x-1 ），即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=（ -

4

k

+1）+（4-k）=-

4

k

-k+5≥4+5=9，
當且僅當-

4

k

=-k時，即 k=-2時取等號，|OA|+|OB|的值最小，
此時直線方程為：：y-4=-2 （ x-1 ）  即：2x+y-6=0

點評：本題主要考查了直線方程的截距式和點斜式、一般式方程，利用均值定理求函數最值的方法，恰當的選擇直線方程的形式是解決問題的關鍵