【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:
.
【答案】(Ⅰ)在區(qū)間上
單調(diào)遞減,在
上
單調(diào)遞增 (Ⅱ)證明見解析
【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,設(shè)
,根據(jù)其單調(diào)性得到
的單調(diào)性.
(Ⅱ)先證明當(dāng)時(shí),
(
)恒成立,計(jì)算得到
在
及
處均取極小值,且
,即
,得到
,得到證明.
(Ⅰ),(
).
設(shè)(
),則
,易知
在區(qū)間
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
所以,則當(dāng)
時(shí),
成立,
易知在區(qū)間上
,
單調(diào)遞減,在
上
,
單調(diào)遞增,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,(
).
令(
),
下面考察當(dāng)時(shí),
的根的情況,從而討論
的正負(fù)情況.
先證明當(dāng)時(shí),
(
)恒成立,
設(shè),則
,
,
設(shè),則
在
時(shí)恒成立,
故在
時(shí)單調(diào)遞增,故
,
故在
時(shí)單調(diào)遞增,故
.
則,(
),
所以有,
,而
,
必存在,
,使得
,所以此時(shí)在區(qū)間
,
上
,
單調(diào)遞增,在
,
上
,
單調(diào)遞減;
所以在
及
處均取極小值,且
,即
,
又,因?yàn)?/span>
,所以有
,即
,同理有
.
即,所以當(dāng)
時(shí),
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為菱形,
,
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)若點(diǎn)為線段
的中點(diǎn),平面
平面
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是拋物線
的焦點(diǎn),過點(diǎn)
且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于
、
兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)
,其中
,
.過點(diǎn)
作
軸的垂線交拋物線于點(diǎn)
,直線
交拋物線于點(diǎn)
.
(1)求的值;
(2)求四邊形的面積
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
平面
,
,
為
上異于
的點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)當(dāng)與平面
所成角為
時(shí),求
的長;
(3)當(dāng)時(shí),求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體中,
,
均為邊長為2的正三角形,且平面
平面
,四邊形
為正方形.
(1)若平面平面
,求證:平面
平面
;
(2)若二面角為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率
,且圓
過橢圓
的上,下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線的斜率為
,且直線
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)
關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
,點(diǎn)
是橢圓
上一點(diǎn),判斷直線
與
的斜率之和是否為定值,如果是,請求出此定值:如果不是,請說明理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱柱中,
底面
,
,
,
,
.
,
分別為棱
,
的中點(diǎn).
(1)求異面直線與
所成角的大�。�
(2)若為線段
的中點(diǎn),試在圖中作出過
、
、
三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形,并求出以該多邊形為底,
為頂點(diǎn)的棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷
在定義域上的單調(diào)性;
(2)若對定義域上的任意的,有
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若無窮數(shù)列滿足
是公比為
的等比數(shù)列,則稱數(shù)列
為“
數(shù)列”.設(shè)數(shù)列
中
(1)若,且數(shù)列
是“
數(shù)列”,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
,請判斷數(shù)列
是否為“
數(shù)列”,并說明理由;
(3)若數(shù)列是“
數(shù)列”,是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,請求出所有滿足條件的正整數(shù)
;若不存在,請說明理由.
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