Question

已知函數(shù)y=G（x）的圖象過原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f（x），函數(shù)f（x）=3x²+2bx+c且滿足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，對(duì)x∈[0，3]恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．（2）設(shè)G（x）在x=t處取得極大值，記此極大值為g（t），求g（t）的值域．

Answer 1

分析：由題意知函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，從而可得b=-3，可知f（x）=3x²-6x+c
（1）由f（x）≥0對(duì)x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²對(duì)x∈[0，3]恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=-3x²+6x，求該函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值，即c≥g（x）_max，即可求得c的最小值；
（2）由題意可得，G（x）=x³-3x²+cx，且f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，所以g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，再對(duì)函數(shù)g（t）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，即可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴y=f（x）的對(duì)稱軸為x=1，即-

b

3

=1，
∴b=-3，
∴f（x）=3x²-6x+c，
由f（x）≥0對(duì)x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²對(duì)x∈[0，3]恒成立，
設(shè)g（x）=-3x²+6x=-3（x²-2x），
∴g（x）_max=g（1）=-3×1²+6×1=3，
∴c≥3，
∴c的最小值為3．
（2）函數(shù)y=G（x）的圖象過原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f（x）=3x²-6x+c，
∴G（x）=x³-3x²+cx，
∵G（x）在x=t處取得極大值，
∴f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，∴c=（6t-3t²）t，
∴g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，
即g（t）=-2t³+3t²，t∈（-∞，1），
∴g'（t）=-6t²+6t，
令g'（t）=0，得t=0或t=1
當(dāng)t＜0時(shí)，g'（t）＜0，
當(dāng)t＞0時(shí)g'（t）＞0，
∴當(dāng)t=0時(shí)，g（t）_極小=g（0）=0
故g（t）的值域?yàn)閇0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式問題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了，同時(shí)考查了恒成立問題，解決恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，有時(shí)采取數(shù)形結(jié)合會(huì)簡化運(yùn)算．屬于中檔題．