Question

p：mx²+x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根；q：2mx²+x+1=0無(wú)實(shí)根，若p∨q為真，p∧q為假，求：m的范圍．

Answer 1

分析：分m=0，m＜0，m＞0三種情況討論mx²+x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根時(shí)m的范圍，再求出2mx²+x+1=0無(wú)實(shí)根時(shí)m的范圍，進(jìn)而根據(jù)p∨q為真，p∧q為假，即p，q一真一假，再分別討論p真q假和p假q真m的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：∵命題p：mx²+x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根
m=0時(shí)，滿(mǎn)足要求
m＜0時(shí)，△＞0恒成立，由韋達(dá)定理可得兩根異號(hào)，滿(mǎn)足要求
m＞0時(shí)，令△=1-4m≥0，即0＜m≤

1

4

，由韋達(dá)定理可得兩根同為負(fù)，滿(mǎn)足要求
綜上命題p為真時(shí)，m≤

1

4

，
又∵命題q：2mx²+x+1=0無(wú)實(shí)根，則△=1-8m＜0，解得m＞

1

8

若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假
當(dāng)p真q假時(shí)，m≤

1

8

，
當(dāng)p假q真時(shí)，m≥

1

4

綜上m的范圍{m|m≤

1

8

，或m≥

1

4

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假，其中分別求出命題p和命題q為真是m的范圍是解答的關(guān)鍵．